Упр.533 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 533. Окружность касается стороны АВ треугольника АВС в точке М и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков ВС и ВМ равна половине периметра треугольника АВС.

Пусть окружность касается сторон треугольника $$ABC$$ в точках $$M$$, $$E$$ и $$F$$, причём $$M \in AB$$, а точки $$E$$ и $$F$$ лежат на продолжениях сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$BM=BE,\quad CM=CF,\quad AM=AF.$$

Тогда периметр треугольника $$ABC$$ можно записать так:

$$ P_{ABC}=AB+BC+AC $$

Так как $$AB=AM+BM$$ и $$AC=AF+FC$$, то

$$ P_{ABC}=(AM+BM)+BC+(AF+FC). $$

Подставим равенства $$AM=AF$$ и $$BM=BE$$, $$FC=CM$$:

$$ P_{ABC}=(AF+BE)+BC+(AF+CM). $$

Но точки $$E$$ и $$F$$ лежат на продолжениях сторон, поэтому отрезки от вершины $$C$$ до точек касания равны, а значит

$$ P_{ABC}=2(BC+BM). $$

Следовательно,

$$ BC+BM=\frac{1}{2}P_{ABC}. $$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$BC+BM=\frac{1}{2}P_{ABC}.$$