Упр.533 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Окружность касается стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$ в точке $$M$$ и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков $$BC$$ и $$BM$$ равна половине периметра треугольника $$ABC$$.

Подробный ответ

Пусть окружность касается сторон треугольника $$ABC$$ в точках $$M$$, $$E$$ и $$F$$, причём $$M \in AB$$, а точки $$E$$ и $$F$$ лежат на продолжениях сторон $$BC$$ и $$AC$$ соответственно.

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$BM=BE,\quad CM=CF,\quad AM=AF.$$

Тогда периметр треугольника $$ABC$$ можно записать так:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC$$

Так как $$AB=AM+BM$$ и $$AC=AF+FC$$, то

$$P_{ABC}=(AM+BM)+BC+(AF+FC).$$

Подставим равенства $$AM=AF$$ и $$BM=BE$$, $$FC=CM$$:

$$P_{ABC}=(AF+BE)+BC+(AF+CM).$$

Но точки $$E$$ и $$F$$ лежат на продолжениях сторон, поэтому отрезки от вершины $$C$$ до точек касания равны, а значит

$$P_{ABC}=2(BC+BM).$$

Следовательно,

$$BC+BM=\frac{1}{2}P_{ABC}.$$