Упр.532 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 532. Прямые, касающиеся окружности с центром О в точках А и В, пересекаются в точке К, ?AKB = 120°. Докажите, что АК + ВК = ОК.

Подробный ответ

Так как прямые $$AK$$ и $$BK$$ касаются окружности с центром $$O$$ в точках $$A$$ и $$B$$, то радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным:

$$OA \perp AK,\qquad OB \perp BK.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKO$$ и $$BKO$$. У них:

$$OK$$ — общая сторона,

$$OA=OB$$ как радиусы одной окружности.

Следовательно, $$\triangle AKO \cong \triangle BKO$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$\angle AKO=\angle BKO,\qquad \angle AOK=\angle BOK.$$

Пусть $$\angle AKO=x$$. Тогда в треугольнике $$AKB$$

$$\angle AKB=\angle AKO+\angle BKO= x+x=2x.$$

По условию $$\angle AKB=120^\circ$$, значит

$$2x=120^\circ,\qquad x=60^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$AKO$$

$$\angle AOK=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$