Упр.528 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 528. Известно, что диаметр АВ делит хорду CD пополам, но не перпендикулярен ей. Докажите, что CD также диаметр.

Подробный ответ

Обозначим центр окружности буквой $$O$$. Так как $$AB$$ — диаметр, то точка $$O$$ лежит на прямой $$AB$$.

Пусть $$E$$ — точка пересечения прямых $$AB$$ и $$CD$$. По условию $$CE=ED$$, значит, точка $$E$$ — середина хорды $$CD$$.

Рассмотрим треугольник $$COD$$. Так как $$OC=OD$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$COD$$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой. Следовательно, $$OE \perp CD$$.

Но по условию прямая $$AB$$ не перпендикулярна хорде $$CD$$, значит, точка $$E$$ не может совпадать с центром окружности $$O$$. Тогда середина хорды $$CD$$ не лежит на диаметре $$AB$$, что возможно только в случае, если хорда $$CD$$ проходит через центр окружности.

Следовательно, $$CD$$ — диаметр.