Упр.527 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 527. Отрезки АВ и ВС соответственно хорда и диаметр окружности, ?ABC = 30°. Через точку А провели касательную к окружности, пересекающую прямую ВС в точке D. Докажите, что ?ABD равнобедренный.

Обозначим центр окружности через $$O$$. Так как $$BC$$ — диаметр, то точки $$B, O, C$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Радиусы окружности равны, значит $$OA=OB$$, следовательно, $$\triangle AOB$$ равнобедренный. Поэтому

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Так как $$\angle ABC=30^\circ$$, а точки $$B, O, C$$ коллинеарны, то луч $$BO$$ совпадает с лучом $$BC$$, значит

$$\angle OBA=\angle ABC=30^\circ.$$

Тогда

$$\angle OAB=30^\circ.$$

Касательная $$AD$$ перпендикулярна радиусу $$OA$$, поэтому

$$\angle OAD=90^\circ.$$

Теперь найдём угол $$\angle BAD$$:

$$\angle BAD=\angle OAB+\angle OAD=30^\circ+90^\circ=120^\circ.$$

Точка $$D$$ лежит на прямой $$BC$$, значит луч $$BD$$ совпадает с лучом $$BC$$, и потому

$$\angle ABD=\angle ABC=30^\circ.$$

В треугольнике $$ABD$$ имеем

$$\angle ADB=180^\circ-\angle BAD-\angle ABD=180^\circ-120^\circ-30^\circ=30^\circ.$$

Получаем, что

$$\angle ABD=\angle ADB,$$

следовательно, $$\triangle ABD$$ равнобедренный.

Ответ

$$\triangle ABD$$ равнобедренный, так как $$\angle ABD=\angle ADB=30^\circ.$$