Упр.526 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 526. Прямая АС касается окружности с центром О в точке А (рис. 298). Докажите, что угол ВАС в 2 раза меньше угла АОВ.

Так как $$AC$$ — касательная к окружности с центром $$O$$ в точке $$A$$, то радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

$$OA \perp AC.$$

Следовательно, $$\angle OAC = 90^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$OA = OB$$ как радиусы одной окружности, то треугольник $$AOB$$ равнобедренный, значит,

$$\angle OAB = \angle OBA.$$

Тогда сумма углов треугольника $$AOB$$ равна:

$$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180^\circ,$$

откуда

$$2\angle OAB + \angle AOB = 180^\circ,$$

$$\angle AOB = 180^\circ — 2\angle OAB = 2(90^\circ — \angle OAB).$$

Теперь найдём угол $$\angle BAC$$. Луч $$AO$$ делит его на два угла:

$$\angle BAC = \angle OAC — \angle OAB.$$

Так как $$\angle OAC = 90^\circ$$, получаем

$$\angle BAC = 90^\circ — \angle OAB.$$

Сравним с выражением для $$\angle AOB$$:

$$\angle AOB = 2(90^\circ — \angle OAB) = 2\angle BAC.$$

Значит,

$$\angle BAC = \frac{1}{2}\angle AOB.$$

Ответ

$$\angle BAC = \frac{1}{2}\angle AOB.$$