Упр.525 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 525. Через точку С окружности с центром О провели касательную к этой окружности, АВ — диаметр окружности. Из точки А на касательную опущен перпендикуляр AD. Докажите, что луч АС — биссектриса угла BAD.

Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Так как $$AB$$ — диаметр, то точки $$A$$, $$O$$, $$B$$ лежат на одной прямой, а $$OA=OC$$ как радиусы одной окружности.

Следовательно, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle ACO=\angle CAO.$$

Поскольку $$DC$$ — касательная к окружности в точке $$C$$, то радиус $$OC$$ перпендикулярен касательной:

$$OC\perp DC,$$

значит, $$\angle OCD=90^\circ.$$

Так как по условию $$AD\perp DC,$$ то и

$$\angle ADC=90^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADC$$ имеем:

$$\angle ACD=90^\circ-\angle ACO,$$

$$\angle CAD=90^\circ-\angle ACD.$$

Подставим первое выражение во второе:

$$ \angle CAD=90^\circ-(90^\circ-\angle ACO)=\angle ACO. $$

Но $$\angle ACO=\angle CAO$$, значит,

$$\angle CAD=\angle CAO.$$

Следовательно, луч $$AC$$ делит угол $$BAD$$ пополам, то есть является биссектрисой угла $$BAD$$.

Ответ

$$AC$$ — биссектриса угла $$BAD$$.