Упр.524 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Через концы хорды $$AB$$, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке $$C$$. Найдите $$\angle ACB$$.

Пусть $$O$$ — центр окружности. Тогда $$OA=OB=R$$, а по условию $$AB=R$$. Значит,

$$OA=OB=AB,$$

то есть треугольник $$AOB$$ равносторонний. Следовательно,

$$\angle OAB=\angle OBA=60^\circ.$$

Так как касательная перпендикулярна радиусу, то

$$OA \perp AC,\qquad OB \perp BC.$$

Тогда

$$\angle BAC=90^\circ-\angle OAB=90^\circ-60^\circ=30^\circ,$$

$$\angle ABC=90^\circ-\angle OBA=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В треугольнике $$ACB$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle ACB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ.$$

Ответ

$$120^\circ$$