Упр.521 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 521. Найдите угол между радиусами ОА и ОВ окружности, если расстояние от центра О окружности до хорды АВ в 2 раза меньше: 1) длины хорды АВ; 2) радиуса окружности.

Подробный ответ

Обозначим через $$H$$ основание перпендикуляра из центра окружности на хорду $$AB$$. Тогда $$OH \perp AB$$, а в окружности перпендикуляр, проведённый из центра к хорде, делит её пополам, значит

$$AH=BH=\frac{1}{2}AB.$$

Кроме того, $$OA=OB=R$$, поэтому треугольник $$AOB$$ равнобедренный, а отрезок $$OH$$ является в нём и высотой, и биссектрисой.

1) Пусть $$OH=\frac{1}{2}AB.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$OBH$$ гипотенуза $$OB$$ в 2 раза больше катета $$OH$$, то есть

$$OH=\frac{1}{2}OB.$$

Следовательно, в прямоугольном треугольнике $$OBH$$ угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, равен $$30^\circ$$. Значит,

$$\angle BOH=30^\circ.$$

Так как $$OH$$ — биссектриса угла $$AOB$$, то

$$\angle AOB=2\angle BOH=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$

2) Пусть $$OH=\frac{1}{2}OB.$$ Тогда в прямоугольном треугольнике $$OBH$$ снова получаем, что катет $$OH$$ равен половине гипотенузы $$OB$$, значит

$$\angle BOH=30^\circ.$$

Поскольку $$OH$$ — биссектриса угла $$AOB$$, имеем

$$\angle AOB=2\angle BOH=2\cdot 30^\circ=60^\circ.$$