Упр.520 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В окружности с центром $$O$$ через середину радиуса провели хорду $$AB$$, перпендикулярную ему. Докажите, что $$\angle AOB=120^\circ$$.

Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Так как $$A$$ и $$B$$ лежат на окружности, то $$OA=OB=R$$.

Точка $$M$$ — середина радиуса $$OC$$, значит

$$OM=\frac{1}{2}OC=\frac{1}{2}R.$$

Поскольку $$AB \perp OC$$ и точка $$M$$ лежит на $$OC$$, то $$AB \perp OM$$. Следовательно, $$\triangle AOM$$ прямоугольный, причём $$OA=R$$ и $$OM=\frac{1}{2}OA$$.

В прямоугольном треугольнике, если катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, то этот угол равен $$30^\circ$$. Значит,

$$\angle OAM=30^\circ.$$

Так как точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, то

$$\angle OAB=\angle OAM=30^\circ.$$

Треугольник $$AOB$$ равнобедренный, поэтому

$$\angle OBA=\angle OAB=30^\circ.$$

Тогда сумма углов треугольника $$AOB$$ равна

$$\angle OAB+\angle OBA+\angle AOB=180^\circ,$$

$$30^\circ+30^\circ+\angle AOB=180^\circ,$$

$$\angle AOB=120^\circ.$$

Ответ

$$\angle AOB=120^\circ.$$