Упр.516 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Прямая $$CD$$ касается окружности с центром $$O$$ в точке $$A$$, отрезок $$AB$$ — хорда окружности, $$\angle AOB=80^\circ$$ (см. рис. 297). Найдите $$\angle BAC$$.

Радиусы окружности равны, значит $$OA=OB$$, поэтому треугольник $$AOB$$ равнобедренный. Тогда его углы при основании равны:

$$\angle OAB=\angle OBA.$$

Сумма углов треугольника $$AOB$$ равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle OAB+\angle OBA+\angle AOB=180^\circ,$$

$$2\angle OAB+80^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle OAB=100^\circ,$$

$$\angle OAB=50^\circ.$$

Так как прямая $$CD$$ касается окружности в точке $$A$$, то радиус $$OA$$ перпендикулярен касательной:

$$OA\perp CD,$$

следовательно, $$\angle OAC=90^\circ$$.

Искомый угол

$$\angle BAC=\angle BAO+\angle OAC=50^\circ+90^\circ=140^\circ.$$

Ответ

$$140^\circ$$