Упр.513 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 513. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Рассмотрим треугольники $$BOE$$ и $$COF$$.

Так как $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$, то $$OE$$ и $$OF$$ — расстояния от центра окружности $$O$$ до хорд $$AB$$ и $$CD$$.

По условию $$OE = OF$$. Кроме того, $$OB = OC$$ как радиусы одной окружности.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$BOE$$ и $$COF$$ равны по катету и гипотенузе.

Отсюда $$BE = CF$$.

Так как перпендикуляр, проведённый из центра окружности к хорде, делит хорду пополам, то

$$BE=\frac{1}{2}AB,\qquad CF=\frac{1}{2}CD.$$

Тогда

$$AB=2BE,\qquad CD=2CF.$$

Поскольку $$BE = CF$$, получаем

$$AB = CD.$$

Ответ

$$AB = CD$$