Упр.512 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: 512. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Рассмотрим окружность с центром $$O$$. Так как $$OE \perp AB$$ и $$OF \perp CD$$, то перпендикуляры, проведённые из центра окружности к хордам, делят эти хорды пополам:

$$BE=\frac{1}{2}AB,\qquad CF=\frac{1}{2}CD.$$

По условию $$AB=CD$$, значит

$$BE=CF.$$

Кроме того, $$OB=OC$$ как радиусы одной окружности, и углы $$\angle OEB$$ и $$\angle OFC$$ прямые.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BOE$$ и $$COF$$. В них:

• $$OB=OC$$;
• $$BE=CF$$.

Следовательно, $$\triangle BOE \cong \triangle COF$$ по гипотенузе и катету. Отсюда

$$OE=OF.$$

Значит, равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Ответ

$$OE=OF.$$