Упр.511 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

На рисунке 296 точка $$O$$ — центр окружности, диаметр $$CD$$ перпендикулярен хорде $$AB$$. Докажите, что $$\angle AOD = \angle BOD$$.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольник $$AOB$$. Так как $$O$$ — центр окружности, то $$OA=OB$$, значит, треугольник $$AOB$$ равнобедренный.

По условию $$CD$$ — диаметр и $$CD \perp AB$$. Пусть $$E$$ — точка пересечения $$CD$$ и $$AB$$. Тогда $$OE \perp AB$$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая из вершины к основанию, является также биссектрисой. Следовательно, $$OE$$ — биссектриса угла $$AOB$$, поэтому

$$\angle AOE=\angle EOB.$$

Так как точки $$C, O, E, D$$ лежат на одной прямой, то лучи $$OE$$ и $$OD$$ совпадают. Значит,

$$\angle AOD=\angle AOE,\qquad \angle BOD=\angle EOB.$$

Отсюда получаем:

$$\angle AOD=\angle BOD.$$