Упр.505 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен 160°. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.
Обозначим через $$O$$ точку пересечения высот $$AE$$ и $$BF$$. Тогда нужно найти угол $$\angle AOF$$ между прямыми, на которых лежат эти высоты.
Так как $$BF \perp AC$$, а $$CF \subset AC$$, то в прямоугольном треугольнике $$CFO$$ имеем:
$$\angle OCF+\angle COF=90^\circ,$$
откуда
$$\angle COF=90^\circ-\angle OCF.$$
Аналогично, так как $$AE \perp BC$$, а $$CE \subset BC$$, то в прямоугольном треугольнике $$CEO$$:
$$\angle OCE+\angle COE=90^\circ,$$
откуда
$$\angle COE=90^\circ-\angle OCE.$$
Найдём угол $$\angle ACB$$. Внешний угол $$\angle BCD=160^\circ$$ смежный с внутренним углом $$\angle ACB$$, значит
$$\angle ACB+\angle BCD=180^\circ,$$
$$\angle ACB=180^\circ-160^\circ=20^\circ.$$
Теперь найдём угол между высотами:
$$\angle EOF=\angle COE+\angle COF,$$
$$\angle EOF=(90^\circ-\angle OCE)+(90^\circ-\angle OCF).$$
Так как $$\angle OCE+\angle OCF=\angle ACB,$$ то
$$\angle EOF=180^\circ-\angle ACB=180^\circ-20^\circ=160^\circ.$$
Углы $$\angle AOF$$ и $$\angle EOF$$ смежные, поэтому
$$\angle AOF+\angle EOF=180^\circ,$$
$$\angle AOF=180^\circ-160^\circ=20^\circ.$$
Ответ
$$20^\circ$$
