Упр.504 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На стороне АВ треугольника АВС отметили точку М так, что ВМ = СМ, МК — биссектриса угла AMС. Докажите, что МК||ВС.

Рассмотрим треугольник $$BMC$$. Так как $$BM=CM$$, то он равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle MBC=\angle BCM.$$

Тогда сумма углов треугольника $$BMC$$ равна:

$$\angle MBC+\angle BMC+\angle MCB=180^\circ,$$

откуда

$$2\angle BCM+\angle BMC=180^\circ.$$

Теперь рассмотрим углы $$\angle AMC$$ и $$\angle BMC$$. Точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, поэтому они смежные:

$$\angle AMC+\angle BMC=180^\circ.$$

Так как $$MK$$ — биссектриса угла $$AMC$$, то

$$\angle CMK=\frac{1}{2}\angle AMC.$$

Из равенства $$\angle AMC=180^\circ-\angle BMC$$ получаем:

$$2\angle CMK=180^\circ-\angle BMC.$$

С другой стороны, из равнобедренности треугольника $$BMC$$ имеем:

$$2\angle BCM=180^\circ-\angle BMC.$$

Следовательно,

$$2\angle CMK=2\angle BCM,$$

то есть

$$\angle CMK=\angle BCM.$$

Это накрест лежащие углы при прямых $$MK$$ и $$BC$$ и секущей $$MC$$. Значит,

$$MK\parallel BC.$$

Ответ

$$MK\parallel BC.$$