Упр.502 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведены биссектрисы AD и СЕ. Докажите, что АЕ = ED.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный с основанием $$AC$$, то $$\angle BAC=\angle BCA$$.

2) Рассмотрим треугольник $$AOC$$. Поскольку $$AD$$ и $$CE$$ — биссектрисы, то

$$\angle OAC=\frac12\angle BAC,\qquad \angle OCA=\frac12\angle BCA.$$

Но $$\angle BAC=\angle BCA$$, значит $$\angle OAC=\angle OCA$$. Следовательно, $$\triangle AOC$$ равнобедренный, и потому

$$AO=OC.$$

3) Рассмотрим треугольники $$AOE$$ и $$COD$$. Имеем

$$\angle EAO=\frac12\angle BAC,\qquad \angle DCO=\frac12\angle BCA,$$

а значит $$\angle EAO=\angle DCO$$.

Кроме того, $$\angle EOA=\angle DOC$$ как вертикальные углы.

Следовательно, $$\triangle AOE \cong \triangle COD$$ по двум углам и включённой стороне, откуда

$$OE=OD.$$

4) Теперь рассмотрим треугольник $$EOD$$. Углы $$\angle EOD$$ и $$\angle AOC$$ — вертикальные, значит

$$\angle EOD=\angle AOC.$$

Так как $$\triangle AOC$$ равнобедренный, то его углы при основании равны, а значит угол при вершине $$\angle AOC$$ выражается через угол $$\angle BAC$$. Тогда в треугольнике $$EOD$$ получаем равные боковые стороны:

$$OE=OD.$$

Следовательно, $$\triangle EOD$$ равнобедренный, и его углы при основании равны:

$$\angle OED=\angle EDO.$$

5) Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$BAC$$, то

$$\angle EAD=\frac12\angle BAC.$$

А из равенства углов в треугольнике $$EOD$$ следует, что треугольник $$AED$$ также равнобедренный, поэтому

$$AE=ED.$$