Упр.499 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Отрезок $$AB$$ — диаметр окружности, $$M$$ — произвольная точка окружности, отличная от точек $$A$$ и $$B$$. Докажите, что $$\angle AMB=90^\circ$$.

Проведём отрезок $$OM$$. Тогда $$AO=BO=MO$$, так как все они равны радиусу окружности.

Рассмотрим треугольник $$AOM$$. В нём $$AO=OM$$, значит, $$\triangle AOM$$ равнобедренный, и $$\angle MAO=\angle AMO$$.

Рассмотрим треугольник $$BOM$$. В нём $$BO=OM$$, значит, $$\triangle BOM$$ равнобедренный, и $$\angle MBO=\angle BMO$$.

Так как точки $$A, O, B$$ лежат на одной прямой, то углы $$\angle MAO$$ и $$\angle MAB$$, а также $$\angle MBO$$ и $$\angle MBA$$ — смежные с соответствующими частями одного и того же угла при вершинах $$A$$ и $$B$$.

В треугольнике $$AMB$$ имеем:

$$\angle MAB+\angle AMB+\angle MBA=180^\circ.$$

Подставим равные углы из равнобедренных треугольников:

$$\angle MAO+\angle AMB+\angle MBO=180^\circ.$$

Но $$\angle MAO=\angle AMO$$ и $$\angle MBO=\angle BMO$$, поэтому

$$\angle AMO+\angle AMB+\angle BMO=180^\circ.$$

Сумма углов треугольника $$AMB$$ равна $$180^\circ$$, а углы при основании равнобедренных треугольников в сумме дают половину развернутого угла, следовательно,

$$2\angle AMB=180^\circ,$$

откуда

$$\angle AMB=90^\circ.$$

Ответ

$$\angle AMB=90^\circ.$$