Упр.492 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Хорда CD пересекает диаметр АВ в точке М, СЕ перпендикулярен АВ, DF перпендикулярен АВ, угол AMС = 60°, ME = 18 см, MF = 12 см (рис. 287). Найдите хорду CD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle MEC$$. Так как $$CE \perp AB$$, а точки $$M$$ и $$E$$ лежат на прямой $$AB$$, то $$\angle MEC = 90^\circ$$. По условию $$\angle AMC = 60^\circ$$, значит в треугольнике $$MEC$$

$$\angle MCE + \angle EMC = 90^\circ,$$

но $$\angle EMC = \angle AMC = 60^\circ$$, следовательно

$$\angle MCE = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике $$\triangle MEC$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, поэтому

$$CM = 2ME = 2 \cdot 18 = 36\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle MFD$$. Так как $$DF \perp AB$$, то $$\angle MFD = 90^\circ$$, а угол $$\angle FMD$$ равен $$\angle EMC = 60^\circ$$. Тогда

$$\angle MDF = 90^\circ — 60^\circ = 30^\circ.$$

В треугольнике $$MFD$$ катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы, значит

$$MD = 2MF = 2 \cdot 12 = 24\text{ см}.$$

Хорда $$CD$$ состоит из отрезков $$CM$$ и $$MD$$, поэтому

$$CD = CM + MD = 36 + 24 = 60\text{ см}.$$

Ответ

$$60\text{ см}$$