Упр.491 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Хорда пересекает диаметр окружности под углом $$30^\circ$$ и делит его на отрезки длиной $$4\ \text{см}$$ и $$10\ \text{см}$$. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

Подробный ответ

Так как $$AB$$ — диаметр, а хорда пересекает его в точке $$E$$, то

$$AB=AE+BE=4+10=14\text{ см}.$$

Следовательно, радиус окружности равен

$$AO=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 14=7\text{ см}.$$

Опустим из центра $$O$$ перпендикуляр $$OF$$ на хорду. Тогда $$OF$$ — искомое расстояние от центра окружности до хорды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$EOF$$. Так как хорда пересекает диаметр под углом $$30^\circ$$, то

$$\angle FEO=30^\circ.$$

Кроме того,

$$OE=AO-AE=7-4=3\text{ см}.$$

В прямоугольном треугольнике $$EOF$$

$$OF=OE\cdot \sin 30^\circ=3\cdot \frac{1}{2}=1{,}5\text{ см}.$$