Упр.473 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. Через вершины $$A$$ и $$B$$ треугольника $$ABC$$ проведены прямые, перпендикулярные биссектрисе угла $$ACB$$ и пересекающие прямые $$BC$$ и $$AC$$ в точках $$M$$ и $$K$$ соответственно. Найдите периметр треугольника $$ABC$$, если $$AC > BC$$, $$CM = 6\text{ см}$$, $$BK = 2\text{ см}$$, $$AB = 7\text{ см}$$.

Рассмотрим треугольник $$BCK$$. Прямая $$CE$$ является биссектрисой угла $$\angle ACB$$ и одновременно перпендикулярна прямой $$BK$$, значит она проходит через вершину равнобедренного треугольника как высота. Следовательно, $$\triangle BCK$$ равнобедренный, и

$$BC=CK=6\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ACM$$. Прямая $$CE$$ также является биссектрисой и высотой, значит $$\triangle ACM$$ равнобедренный. Поэтому

$$AC=CM.$$

Так как точки $$B$$ и $$M$$ лежат на одной прямой, то

$$CM=CB+BM=6+2=8\text{ см}.$$

Следовательно,

$$AC=8\text{ см}.$$

Теперь найдём периметр треугольника $$ABC$$:

$$P_{ABC}=AB+BC+AC=7+6+8=21\text{ см}.$$

Ответ

$$21\text{ см}$$