Упр.472 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На рисунке 272 АВ = ВС, AM = КС, угол AKE = углу FMC. Докажите, что треугольник FВЕ равнобедренный.

1) Так как $$AB=BC,$$ то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AEK$$ и $$CFM.$$

Из условия $$AM=KC,$$ поэтому

$$AK=AM+MK=KC+KM=CM.$$

Кроме того, лучи $$KA$$ и $$CM$$ лежат на одной прямой $$AC,$$ а значит

$$\angle EAK=\angle FCM.$$

Также по условию

$$\angle AKE=\angle FMC.$$

Следовательно, $$\triangle AEK \cong \triangle CFM$$ по второму признаку равенства треугольников. Тогда

$$AE=CF.$$

3) Теперь рассмотрим треугольник $$FBE.$$

Так как $$E$$ лежит на стороне $$AB,$$ а $$F$$ — на стороне $$BC,$$ то

$$EB=AB-AE,$$

$$CF=BC-BF.$$

Из равенства $$AB=BC$$ и $$AE=CF$$ получаем

$$EB=AB-AE=BC-CF=BF.$$

Значит, в треугольнике $$FBE$$ две стороны равны, поэтому он равнобедренный.

Ответ

$$\triangle FBE$$ равнобедренный, так как $$BF=BE.$$