Упр.471 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C=90^\circ$$, угол $$BAC=60^\circ$$, отрезок $$AD$$ — биссектриса, отрезок $$CD$$ на 3 см меньше отрезка $$BD$$. Найдите биссектрису $$AD$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем:

$$\angle A+\angle B=90^\circ,$$

$$60^\circ+\angle B=90^\circ,$$

откуда $$\angle B=30^\circ.$$

Так как $$AD$$ — биссектриса угла $$A,$$ то

$$\angle BAD=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ.$$

Следовательно, $$\angle BAD=\angle ABD,$$ значит, треугольник $$ADB$$ равнобедренный и

$$AD=BD.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACD$$. Тогда

$$\angle DAC=\frac{1}{2}\angle A=30^\circ,$$

а в треугольнике $$ADB$$ получаем, что $$AD=BD,$$ значит,

$$CD=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BD.$$

По условию $$CD=BD-3$$, поэтому

$$BD-3=\frac{1}{2}BD,$$

$$\frac{1}{2}BD=3,$$

$$BD=6.$$

Так как $$AD=BD,$$ то

$$AD=6\text{ см}.$$

Ответ

$$6\text{ см}$$