Упр.470 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В треугольнике МКЕ угол K = 90°, угол E = 30°, КЕ =12 см. Найдите биссектрису МС треугольника.

В прямоугольном треугольнике $$MKE$$ имеем:

$$\angle K + \angle E + \angle M = 180^\circ,$$

$$90^\circ + 30^\circ + \angle M = 180^\circ,$$

$$\angle M = 60^\circ.$$

Так как $$MC$$ — биссектриса угла $$M$$, то

$$\angle EMC = \angle CMK = \frac{1}{2}\angle M = 30^\circ.$$

Рассмотрим треугольник $$MCE$$. В нём

$$\angle EMC = \angle MEC = 30^\circ,$$

значит, треугольник $$MCE$$ равнобедренный, и

$$MC = CE.$$

Теперь найдём $$CE$$. Так как точки $$K, C, E$$ лежат на одной прямой, то

$$KE = KC + CE.$$

В прямоугольном треугольнике $$MKC$$ угол при $$M$$ равен $$30^\circ$$, поэтому катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$CK = \frac{1}{2}MC.$$

Но $$MC = CE$$, значит

$$CK = \frac{1}{2}CE.$$

Тогда

$$KE = KC + CE = \frac{1}{2}CE + CE = \frac{3}{2}CE.$$

Подставим $$KE = 12$$:

$$\frac{3}{2}CE = 12,$$

$$CE = 8.$$

Следовательно,

$$MC = CE = 8\text{ см}.$$

Ответ

$$8\text{ см}$$