Упр.469 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В треугольнике ABC угол C = 90°, угол B = 30°. Серединный перпендикуляр отрезка АВ пересекает его в точке М, а отрезок ВС — в точке К.

1) В прямоугольном треугольнике $$BMK$$ угол $$\angle MBK=30^\circ$$, так как луч $$BK$$ лежит на прямой $$BC$$, а $$\angle B=30^\circ$$. Тогда

$$MK=\frac{1}{2}BK.$$

2) Рассмотрим треугольники $$AMK$$ и $$BMK$$. У них:

$$MK$$ — общая сторона,

$$AM=MB$$ по условию,

$$\angle AMK=\angle BMK=90^\circ$$, так как $$MK\perp AB$$.

Следовательно, $$\triangle AMK \cong \triangle BMK$$ по двум катетам. Значит,

$$AK=BK.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$\angle A+\angle B=90^\circ,$$

$$\angle A+30^\circ=90^\circ,$$

$$\angle A=60^\circ.$$

4) В прямоугольном треугольнике $$ACK$$:

$$\angle KAC=\angle A-\angle MAK=60^\circ-30^\circ=30^\circ.$$

Тогда

$$CK=\frac{1}{2}AK=\frac{1}{2}BK.$$

Теперь найдём $$BC$$:

$$BC=CK+BK=\frac{1}{2}BK+BK=\frac{3}{2}BK.$$

Следовательно,

$$\frac{MK}{BC}=\frac{\frac{1}{2}BK}{\frac{3}{2}BK}=\frac{1}{3}.$$

Значит,

$$MK=\frac{1}{3}BC.$$

Ответ

$$MK=\frac{1}{3}BC.$$