Упр.468 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Биссектрисы AM и ВК равностороннего треугольника ABC пересекаются в точке О. Докажите, что АО:ОМ=2:1.

Подробный ответ

1) Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то все его углы равны $$60^\circ$$. Следовательно, биссектриса $$AM$$ делит угол $$\angle BAC$$ пополам, значит

$$\angle CAM=\angle MAB=\frac{1}{2}\cdot 60^\circ=30^\circ.$$

В равностороннем треугольнике биссектриса является одновременно медианой и высотой, поэтому $$AM \perp BC$$ и $$BM=MC.$$ Аналогично, $$BK$$ — биссектриса угла $$\angle ABC$$, значит $$BK$$ тоже является медианой и высотой.

2) Рассмотрим треугольники $$BMO$$ и $$AKO$$. У них

$$\angle BMO=\angle AKO=90^\circ,$$

а также

$$\angle MBO=\angle KAO,$$

так как обе эти угла равны $$30^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle BMO \sim \triangle AKO$$ по двум углам. Но в равностороннем треугольнике соответствующие отрезки равны, поэтому из подобия получаем

$$BO=AO.$$

3) В прямоугольном треугольнике $$BMO$$ угол при $$B$$ равен $$30^\circ$$, значит катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$OM=\frac{1}{2}BO.$$

Так как $$BO=AO$$, то

$$OM=\frac{1}{2}AO.$$

Тогда

$$AO:OM=AO:\frac{1}{2}AO=2:1.$$