Упр.467 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС провели высоту ВМ, ВМ = 7,5 см, угол MBC = 15°. Найдите боковую сторону треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BMC$$, так как $$BM$$ — высота, значит $$BM \perp AC$$ и, следовательно, $$BM \perp MC$$.

Тогда

$$\angle MBC+\angle MCB=90^\circ,$$

$$15^\circ+\angle MCB=90^\circ,$$

$$\angle MCB=75^\circ.$$

Так как треугольник $$ABC$$ равнобедренный с основанием $$BC$$, то $$\angle B=\angle C$$. Значит,

$$\angle C=75^\circ,\quad \angle B=75^\circ.$$

Найдём угол при вершине $$A$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$\angle A+75^\circ+75^\circ=180^\circ,$$

$$\angle A=30^\circ.$$

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Поэтому $$BM$$ делит угол $$A$$ пополам:

$$\angle BAM=15^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABM$$. В нём

$$\angle BAM=15^\circ,\quad \angle AMB=90^\circ,$$

значит, треугольник $$ABM$$ не является равнобедренным. Но удобнее заметить, что в треугольнике $$ABM$$ угол при вершине $$A$$ равен $$30^\circ$$, а гипотенуза $$AB$$ лежит напротив угла $$90^\circ$$. Тогда катет, лежащий напротив угла $$30^\circ$$, равен половине гипотенузы:

$$BM=\frac{1}{2}AB.$$

Следовательно,

$$AB=2BM=2\cdot 7{,}5=15\text{ см}.$$

Ответ

$$15\text{ см}$$