Упр.463 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C = 90^\circ$$, угол $$A = 30^\circ$$, $$CD$$ — высота, $$BD = 7$$ см. Найдите гипотенузу $$AB$$.

В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ имеем:

$$\angle B+\angle A=90^\circ,$$

$$\angle B+30^\circ=90^\circ,$$

$$\angle B=60^\circ.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$BDC$$. Так как $$CD$$ — высота, то $$CD \perp AB$$, значит $$\angle CDB=90^\circ$$. Тогда

$$\angle DCB+\angle CBD=90^\circ,$$

а поскольку $$\angle CBD=\angle B=60^\circ,$$ получаем

$$\angle DCB=30^\circ.$$

В треугольнике $$BDC$$ угол при вершине $$C$$ равен $$30^\circ$$, значит катет, лежащий против угла $$30^\circ$$, вдвое меньше гипотенузы:

$$CB=2BD=2\cdot 7=14\text{ см}.$$

Теперь в прямоугольном треугольнике $$ABC$$ угол $$A=30^\circ$$, поэтому катет $$CB$$ равен половине гипотенузы $$AB$$:

$$AB=2CB=2\cdot 14=28\text{ см}.$$

Ответ

$$28\text{ см}$$