Упр.460 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

В равностороннем треугольнике $$ABC$$ точка $$D$$ — середина стороны $$AB$$. Из этой точки опущен перпендикуляр $$DE$$ на сторону $$AC$$. Найдите отрезки, на которые точка $$E$$ разбивает отрезок $$AC$$, если сторона данного треугольника равна $$16\text{ см}$$.

Подробный ответ

Так как $$\triangle ABC$$ равносторонний, то все его углы равны $$60^\circ$$, а все стороны равны:

$$AB=BC=AC=16\text{ см}.$$

Точка $$D$$ — середина стороны $$AB$$, значит

$$AD=DB=\frac{AB}{2}=\frac{16}{2}=8\text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AED$$. По условию $$DE\perp AC$$, а точка $$E$$ лежит на $$AC$$, значит $$\angle AED=90^\circ$$.

Так как $$\angle DAE$$ — это угол между сторонами $$AD$$ и $$AE$$, а $$AE$$ лежит на прямой $$AC$$, то

$$\angle DAE=\angle BAC=60^\circ.$$

Тогда в треугольнике $$AED$$:

$$\angle ADE=90^\circ-60^\circ=30^\circ.$$

В прямоугольном треугольнике с углом $$30^\circ$$ катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы. Следовательно,

$$AE=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}\cdot 8=4\text{ см}.$$