Упр.455 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. На рисунке 267 $$AB=CD$$, $$BC=AD$$. Докажите, что $$AO=OC$$.

Рассмотрим треугольники $$ABC$$ и $$ADC$$. У них:

$$AB=CD$$, $$BC=AD$$ — по условию,

$$AC$$ — общая сторона.

Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle ADC$$ по третьему признаку равенства треугольников. Тогда

$$\angle BCA=\angle CAD.$$

Эти углы являются накрест лежащими при прямых $$BC$$ и $$AD$$ и секущей $$AC$$, значит,

$$BC \parallel AD.$$

Теперь рассмотрим прямые $$BC$$ и $$AD$$ и секущую $$BD$$. Тогда

$$\angle CBD=\angle BDA.$$

Рассмотрим треугольники $$AOD$$ и $$COD$$. Так как $$O$$ лежит на прямой $$AC$$, а $$BD$$ пересекает её в точке $$O$$, то

$$\angle OAD=\angle BCO,$$

$$\angle ODA=\angle CBO.$$

Следовательно, $$\triangle AOD=\triangle COD$$ по второму признаку равенства треугольников. Отсюда

$$AO=OC.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AO=OC$$