Упр.454 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На боковых сторонах AВ и ВС равнобедренного треугольника ЛВС отметили соответственно точки М и К так, что ВМ = ВК. Отрезки ЛК и СМ пересекаются в точке О. Докажите, что: 1) треугольник AОС равнобедренный; 2) прямая ВО — серединный перпендикуляр отрезка АС.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AMC$$ и $$CKA$$.

Так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный, то $$AB=BC$$ и $$\angle BAC=\angle BCA$$.

По условию $$BM=BK$$, значит

$$AM=AB-BM=BC-BK=CK.$$

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона, а

$$\angle MAC=\angle KCA$$

как углы при основании равнобедренного треугольника $$ABC$$.

Следовательно, $$\triangle AMC \cong \triangle CKA$$ по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle MCA=\angle KAC.$$

Пусть $$O$$ — точка пересечения отрезков $$AK$$ и $$CM$$. Тогда точка $$O$$ лежит на прямой, на которой из равенства углов следует симметрия относительно биссектрисы угла при вершине $$A$$ и $$C$$, поэтому в треугольнике $$AOC$$ имеем

$$\angle OCA=\angle OAC.$$

Значит, $$\triangle AOC$$ равнобедренный, и

$$AO=OC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AOC$$. Так как $$AO=OC$$, то прямая, проходящая через вершину $$O$$ к основанию $$AC$$, является одновременно медианой и высотой. Обозначим основание этой высоты через $$H$$. Тогда

$$OH\perp AC,\qquad AH=HC.$$

Но точка $$B$$ — вершина равнобедренного треугольника $$ABC$$, поэтому прямая $$BH$$ также является медианой и высотой к основанию $$AC$$. Следовательно, через середину $$AC$$ проходит и прямая $$BO$$, то есть

$$BO\perp AC,\qquad AH=HC.$$

Значит, прямая $$BO$$ является серединным перпендикуляром отрезка $$AC$$.