Упр.450 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Высоты ME и NF треугольника MKN пересекаются в точке О, ОМ = ON, MF = КЕ. Докажите, что треугольник MKN равносторонний.

Подробный ответ

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$FOM$$ и $$EON$$. У них

$$\angle FOM=\angle EON$$ — вертикальные,

$$\angle FMO=\angle ENO=90^\circ$$, так как $$ME$$ и $$NF$$ — высоты.

Следовательно, $$\triangle FOM \cong \triangle EON$$ по гипотенузе и острому углу. Тогда

$$FM=EN.$$

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$KEM$$ и $$NEM$$. Имеем

$$ME$$ — общая сторона,

$$KE=MF$$ по условию, а значит $$KE=EN$$.

Кроме того, $$\angle KEM=\angle NEM=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle KEM \cong \triangle NEM$$ по двум катетам, откуда

$$MK=MN.$$

3) Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$MFN$$ и $$NEM$$. У них

$$MN$$ — общая сторона,

$$FM=EN$$,

$$\angle MFN=\angle NEM=90^\circ$$.

Следовательно, $$\triangle MFN \cong \triangle NEM$$ по катету и гипотенузе. Тогда

$$\angle FMN=\angle ENM.$$

Но $$\angle FMN=\angle KMN$$, так как точки $$K, F, M$$ лежат на одной прямой. Значит,

$$\angle KMN=\angle MNK.$$

А так как $$MK=MN$$, то треугольник $$MKN$$ равнобедренный, и равенство его углов при основании показывает, что все его углы равны. Следовательно, $$\triangle MKN$$ равносторонний.