Упр.449 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Высоты AМ и СК треугольника AВС пересекаются в точке Н, HK = НМ. Докажите, что треугольник AВС равнобедренный.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AKH$$ и $$CMH$$. У них

$$\angle AHK=\angle CHM$$ — вертикальные,

$$\angle AKH=\angle CMH=90^\circ$$,

$$HK=HM$$ по условию.

Следовательно, $$\triangle AKH \cong \triangle CMH$$ по катету и острому углу. Тогда

$$AH=HC.$$

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AMC$$ и $$CKA$$. Имеем

$$AM=AH+HM=HC+HK=CK,$$

так как $$AH=HC$$ и $$HM=HK$$.

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона, а

$$\angle AMC=\angle CKA=90^\circ.$$

Значит, $$\triangle AMC \cong \triangle CKA$$ по катету и гипотенузе. Отсюда

$$\angle MCA=\angle KAC.$$

3) Точки $$K$$ и $$M$$ лежат соответственно на прямых $$AB$$ и $$BC$$, поэтому

$$\angle KAC=\angle BAC,\qquad \angle MCA=\angle BCA.$$

Следовательно,

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Значит, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равнобедренный, так как $$\angle BAC=\angle BCA.$$