Упр.448 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Прямая пересекает стороны AВ и ВС треугольника AВС в точках М и К соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой МК. Докажите, что точки М и К являются серединами сторон AВ и ВС соответственно.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AA’M$$ и $$BB’M$$. У них:

$$AA’ = BB’$$ по условию;
$$AA’ \perp MK$$ и $$BB’ \perp MK$$, значит $$\angle AA’M = \angle BB’M = 90^\circ$$;
$$\angle AMA’ = \angle BMB’$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle AA’M = \triangle BB’M$$ по катету и острому углу. Отсюда

$$AM = MB.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CC’K$$ и $$BB’K$$. Аналогично:

$$CC’ = BB’$$ по условию;
$$CC’ \perp MK$$ и $$BB’ \perp MK$$, значит $$\angle CC’K = \angle BB’K = 90^\circ$$;
$$\angle CKC’ = \angle BKB’$$ как вертикальные.

Следовательно, $$\triangle CC’K = \triangle BB’K$$ по катету и острому углу. Значит,

$$CK = KB.$$

Итак, точки $$M$$ и $$K$$ являются серединами сторон $$AB$$ и $$BC$$ соответственно.