Упр.447 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC соответственно в точках М и К, являющихся серединами этих сторон. Докажите, что вершины данного треугольника равноудалены от прямой МК.

Рассмотрим треугольники $$AA’M$$ и $$BB’M$$.

Так как $$AA’ \perp MK$$ и $$BB’ \perp MK$$, то $$\angle AA’M = \angle BB’M = 90^\circ$$.

Точки $$A, M, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$A’, M, B’$$ — на прямой $$MK$$, поэтому $$\angle AMA’ = \angle BMB’$$ как вертикальные.

Кроме того, $$AM = MB$$, так как $$M$$ — середина стороны $$AB$$.

Следовательно, $$\triangle AA’M \cong \triangle BB’M$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$AA’ = BB’.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$CC’K$$ и $$BB’K$$.

Так как $$CC’ \perp MK$$ и $$BB’ \perp MK$$, то $$\angle CC’K = \angle BB’K = 90^\circ$$.

Точки $$C, K, B$$ лежат на одной прямой, а точки $$C’, K, B’$$ — на прямой $$MK$$, поэтому $$\angle CKC’ = \angle BKB’$$ как вертикальные.

Кроме того, $$CK = KB$$, так как $$K$$ — середина стороны $$BC$$.

Следовательно, $$\triangle CC’K \cong \triangle BB’K$$ по гипотенузе и острому углу. Отсюда

$$CC’ = BB’.$$

Тогда

$$AA’ = BB’ = CC’.$$

Значит, вершины треугольника $$A$$, $$B$$ и $$C$$ равноудалены от прямой $$MK$$.

Ответ

$$AA’ = BB’ = CC’.$$