Упр.446 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите равенство треутольников по стороне и проведённым к ней медиане и высоте.

Обозначим точки пересечения медиан и высот с стороной $$AC$$ и $$A’C’$$ соответственно: $$D, E$$ и $$D’, E’$$.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$BED$$ и $$B’E’D’$$. У них

$$\angle BED=\angle B’E’D’=90^\circ,$$

$$BD=B’D’$$ — по условию,

$$BE=B’E’$$ — по условию.

Следовательно, $$\triangle BED=\triangle B’E’D’$$ по катету и гипотенузе. Отсюда

$$DE=D’E’.$$

2) Так как $$BD$$ и $$B’D’$$ — медианы, то

$$CD=DE?$$

Нет, точнее: $$D$$ и $$D’$$ — середины сторон $$AC$$ и $$A’C’$$, значит

$$CD=\frac{1}{2}AC,\qquad C’D’=\frac{1}{2}A’C’.$$

Тогда

$$CE=CD+DE=\frac{1}{2}AC+DE,$$

$$C’E’=C’D’+D’E’=\frac{1}{2}A’C’+D’E’.$$

Но по условию $$AC=A’C’$$, а из пункта 1 получено $$DE=D’E’$$, значит

$$CE=C’E’.$$

Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$BEC$$ и $$B’E’C’$$. У них

$$BE=B’E’,$$

$$CE=C’E’,$$

следовательно, $$\triangle BEC=\triangle B’E’C’$$ по двум катетам. Тогда

$$\angle ECB=\angle E’C’B’,$$

откуда

$$\angle ACB=\angle A’C’B’.$$

3) В треугольниках $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ имеем:

$$AC=A’C’,$$

$$BC=B’C’,$$

$$\angle ACB=\angle A’C’B’.$$

Следовательно, $$\triangle ABC=\triangle A’B’C’$$ по двум сторонам и углу между ними.

Ответ

$$\triangle ABC=\triangle A’B’C’.$$