Упр.445 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите равенство остроугольных треугольников но стороне и двум высотам, проведённым из концов этой стороны.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$CDB$$ и $$C’D’B’$$. Они прямоугольные, так как $$CD \perp AB$$ и $$C’D’ \perp A’B’$$. При этом $$CB = C’B’$$ по условию, а $$CD = C’D’$$.

Следовательно, $$\triangle CDB = \triangle C’D’B’$$ по катету и гипотенузе. Тогда $$\angle CBD = \angle C’B’D’$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$CEB$$ и $$C’E’B’$$. Они также прямоугольные, так как $$BE \perp AC$$ и $$B’E’ \perp A’C’$$. Кроме того, $$CB = C’B’$$ и $$BE = B’E’$$.

Значит, $$\triangle CEB = \triangle C’E’B’$$ по катету и гипотенузе. Отсюда $$\angle ECB = \angle E’C’B’$$.

Так как $$D \in AB$$, то луч $$BD$$ совпадает с лучом $$BA$$, а значит $$\angle CBD = \angle CBA = \angle ABC$$. Аналогично, $$\angle C’B’D’ = \angle A’B’C’$$. Поэтому $$\angle ABC = \angle A’B’C’$$.

Аналогично, поскольку $$E \in AC$$ и $$E’ \in A’C’$$, имеем $$\angle ECB = \angle ACB$$ и $$\angle E’C’B’ = \angle A’C’B’$$, значит $$\angle ACB = \angle A’C’B’$$.

Теперь в треугольниках $$ABC$$ и $$A’B’C’$$ равны сторона $$CB = C’B’$$ и два прилежащих к ней угла: $$\angle ABC = \angle A’B’C’$$, $$\angle ACB = \angle A’C’B’$$. Следовательно,

$$\triangle ABC = \triangle A’B’C’$$ по второму признаку равенства треугольников.