Упр.442 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите равенство прямоутольных треутольников по катету и биссектрисе, проведённой из вершины прилежащего к этому катету острого угла.

1) Рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle DCB$$ и $$\triangle D’C’B’.$$

У них:

• $$\angle C=\angle C’=90^\circ,$$
• $$CB=C’B’,$$
• $$BD=B’D’.$$

Следовательно, $$\triangle DCB \cong \triangle D’C’B’$$ по катету и гипотенузе. Тогда

$$\angle DBC=\angle D’B’C’.$$

2) Так как $$BD$$ и $$B’D’$$ — биссектрисы, то

$$\angle ABC=2\angle DBC,$$

$$\angle A’B’C’=2\angle D’B’C’.$$

Из равенства углов $$\angle DBC=\angle D’B’C’$$ получаем

$$\angle ABC=\angle A’B’C’.$$

3) Теперь рассмотрим прямоугольные треугольники $$\triangle ACB$$ и $$\triangle A’C’B’.$$

У них:

• $$\angle C=\angle C’=90^\circ,$$
• $$CB=C’B’,$$
• $$\angle ABC=\angle A’B’C’.$$

Значит, $$\triangle ACB \cong \triangle A’C’B’$$ по катету и острому углу.

Следовательно, $$\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’.$$

Ответ

$$\triangle ABC \cong \triangle A’B’C’.$$