Упр.440 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и биссектрисе, проведенной из вершины прямого угла.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$ACD$$ и $$A’C’D’$$. Так как $$CD$$ и $$C’D’$$ — биссектрисы углов $$\angle ACB$$ и $$\angle A’C’B’$$, а $$\angle C=\angle C’=90^\circ$$, то

$$\angle ACD=\angle A’C’D’=\frac{1}{2}\cdot 90^\circ=45^\circ.$$

Кроме того, по условию $$AC=A’C’$$ и $$CD=C’D’$$. Следовательно,

$$\triangle ACD \cong \triangle A’C’D’$$ — по первому признаку равенства треугольников.

Отсюда получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle CAD=\angle C’A’D’.$$

Теперь рассмотрим треугольники $$ACB$$ и $$A’C’B’$$. У них

$$\angle ACB=\angle A’C’B’=90^\circ,$$

$$AC=A’C’,$$

и равны углы при вершинах $$A$$ и $$A’$$:

$$\angle CAB=\angle C’A’B’.$$

Значит,

$$\triangle ACB \cong \triangle A’C’B’$$ — по катету и острому углу.