Упр.439 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.

Подробный ответ

Рассмотрим треугольники $$AEC$$ и $$CDA$$. Так как $$AE$$ и $$CD$$ — высоты, то

$$\angle AEC=\angle CDA=90^\circ.$$

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона, а по условию $$AE=CD$$.

Следовательно, прямоугольные треугольники $$AEC$$ и $$CDA$$ равны по катету и гипотенузе. Значит,

$$\angle ECA=\angle DAC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ABC$$. Поскольку точки $$E$$ и $$D$$ лежат соответственно на прямых $$BC$$ и $$BA$$, то

$$\angle ECA=\angle BCA,\qquad \angle DAC=\angle BAC.$$

Отсюда получаем

$$\angle BCA=\angle BAC.$$

Следовательно, треугольник $$ABC$$ равнобедренный.