Упр.438 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что высоты равнобедренного треутольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит его боковые стороны равны: $$AB=BC$$, а углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AEC$$ и $$CDA$$. По условию $$AE$$ и $$CD$$ — высоты, поэтому

$$\angle AEC=90^\circ,\qquad \angle CDA=90^\circ.$$

Кроме того, $$AC$$ — общая сторона этих треугольников, а так как $$\angle BAC=\angle BCA$$, то острые углы при основании равны, следовательно

$$\angle EAC=\angle DCA.$$

Значит, прямоугольные треугольники $$AEC$$ и $$CDA$$ равны по гипотенузе и острому углу. Тогда соответствующие катеты равны:

$$AE=CD.$$

Что и требовалось доказать.