Упр.437 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На сторонах угла с вершиной в точке В отметили точки А и С так, что АВ = ВС. Через точки А и С провели прямые, перпендикулярные сторонам ВА и ВС соответственно, которые пересекаются в точке О. Докажите, что луч ВО — биссектриса угла ABC.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$AEB$$ и $$CDB$$.

Так как $$AE \perp BC$$ и $$CD \perp BA$$, то $$\angle AEB = \angle CDB = 90^\circ$$.

Кроме того, $$\angle ABE = \angle CBD$$ как углы между соответственно параллельными сторонами не требуется: это один и тот же угол при вершине $$B$$, образованный прямыми $$BA$$ и $$BC$$.

По условию $$AB = BC$$, значит, в прямоугольных треугольниках $$AEB$$ и $$CDB$$ равны гипотенузы и один острый угол. Следовательно,

$$\triangle AEB \cong \triangle CDB.$$

Отсюда получаем $$BE = BD$$.

Теперь рассмотрим треугольники $$BDO$$ и $$BEO$$.

У них:

• $$BO$$ — общая сторона;
• $$BD = BE$$;
• $$\angle BDO = \angle BEO = 90^\circ$$, так как $$CD \perp BA$$ и $$AE \perp BC$$.

Следовательно,

$$\triangle BDO \cong \triangle BEO$$

по катету и гипотенузе.

Значит, $$\angle OBD = \angle OBE$$. Но лучи $$BD$$ и $$BA$$ совпадают, а лучи $$BE$$ и $$BC$$ лежат на сторонах угла $$ABC$$, поэтому

$$\angle OBA = \angle OBC.$$

Следовательно, луч $$BO$$ — биссектриса угла $$ABC$$.

Ответ

$$BO$$ — биссектриса угла $$ABC$$.