Упр.434 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

На рисунке 265 $$AB=CD$$, $$AB\parallel CD$$, $$BM\perp AC$$, $$DK\perp AC$$. Докажите, что $$BM=DK$$.

Рассмотрим прямые $$AB$$ и $$CD$$, которые параллельны, и секущую $$AC$$. Тогда

$$\angle BAC=\angle DCA$$

как накрест лежащие углы.

Теперь рассмотрим треугольники $$AMB$$ и $$CKD$$. По условию $$BM\perp AC$$ и $$DK\perp AC$$, значит

$$\angle AMB=\angle CKD=90^\circ.$$

Кроме того, так как $$M$$ и $$K$$ лежат на прямой $$AC$$, а $$AB\parallel CD$$, то

$$\angle BAM=\angle DCK.$$

Следовательно, треугольники $$AMB$$ и $$CKD$$ равны по гипотенузе и острому углу:

$$\triangle AMB \cong \triangle CKD.$$

Из равенства треугольников получаем соответствующие равные стороны:

$$BM=DK.$$

Что и требовалось доказать.