Упр.429 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

В равнобедренном треугольнике $$ABC$$ ($$AB=BC$$) проведена высота $$AH$$. Найдите угол $$CAH$$, если угол $$B=76^\circ$$.

Так как $$AB=BC$$, то треугольник $$ABC$$ равнобедренный, значит, его углы при основании равны:

$$\angle BAC=\angle BCA.$$

Сумма углов треугольника равна $$180^\circ$$, поэтому

$$\angle BAC+\angle BCA+\angle ABC=180^\circ,$$

$$\angle BCA+\angle BCA+76^\circ=180^\circ,$$

$$2\angle BCA=104^\circ,$$

$$\angle BCA=52^\circ.$$

Так как $$AH$$ — высота, то $$AH\perp BC$$, следовательно, в треугольнике $$CHA$$ угол при $$H$$ прямой:

$$\angle CHA=90^\circ.$$

Тогда в прямоугольном треугольнике $$CHA$$:

$$\angle CAH+\angle HCA=90^\circ.$$

Но $$\angle HCA=\angle BCA=52^\circ$$, значит

$$\angle CAH+52^\circ=90^\circ,$$

$$\angle CAH=38^\circ.$$

Ответ

$$38^\circ$$