Упр.422 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

1. На медиане $$ВМ$$ треугольника $$ABC$$ отметили точку $$О$$ так, что угол $$ОАС$$ равен углу $$ОСА$$. Докажите, что треугольник $$ABC$$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $$AOC$$. По условию $$\angle OAC=\angle OCA$$, значит, треугольник $$AOC$$ равнобедренный, и потому $$AO=OC$$.

Точка $$O$$ лежит на медиане $$BM$$ треугольника $$ABC$$, следовательно, точки $$B, O, M$$ коллинеарны. В равнобедренном треугольнике $$AOC$$ отрезок, проведённый из вершины $$O$$ к основанию $$AC$$, является и медианой, и высотой. Значит, $$OM \perp AC$$.

Но точки $$B, O, M$$ лежат на одной прямой, поэтому прямая $$BM$$ совпадает с прямой $$OM$$. Следовательно, $$BM \perp AC$$.

Итак, в треугольнике $$ABC$$ медиана $$BM$$ является высотой. Тогда треугольник $$ABC$$ равнобедренный, то есть $$AB=BC$$.

Ответ

$$\triangle ABC$$ равнобедренный, $$AB=BC$$.