Упр.420 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Докажите, что сумма длин двух сторон треугольника больше удвоенной длины медианы, проведённой к третьей стороне.

На прямой $$CM$$ отметим точку $$D$$ так, чтобы $$MD=CM$$.

Рассмотрим треугольники $$AMD$$ и $$BMC$$. У них

$$\angle AMD=\angle BMC$$ — вертикальные,

$$AM=MB$$, так как $$CM$$ — медиана треугольника $$ABC$$,

$$MD=CM$$ по построению.

Следовательно, $$\triangle AMD \cong \triangle BMC$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда

$$AD=BC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$DAC$$. По неравенству треугольника

$$AD+AC>DC.$$

Так как точки $$D, M, C$$ лежат на одной прямой и $$MD=CM$$, то

$$DC=DM+MC=2CM.$$

Подставляя $$AD=BC$$, получаем

$$BC+AC>2CM.$$

Что и требовалось доказать.

Ответ

$$AC+BC>2CM.$$