Упр.419 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)
В треугольнике $$ABC$$ $$AB=2\text{ см}$$, $$\angle A=60^\circ$$, $$\angle B=70^\circ$$. На стороне $$AC$$ отметили точку $$D$$ так, что $$AD=1\text{ см}$$. Найдите углы треугольника $$BDC$$.
Обозначим точку K на стороне $$AB$$ так, что $$AK=KB=\frac12 AB=1\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольник $$AKD.$$ Так как $$AK=AD=1\text{ см},$$ то $$\triangle AKD$$ равнобедренный, значит $$\angle AKD=\angle ADK.$$
Сумма углов треугольника $$AKD$$ равна $$180^\circ$$, поэтому
$$\angle AKD+\angle ADK+\angle KAD=180^\circ$$
$$\angle ADK+\angle ADK+60^\circ=180^\circ$$
$$2\angle ADK=120^\circ$$
$$\angle ADK=60^\circ$$
Следовательно, $$\angle AKD=60^\circ,$$ и треугольник $$AKD$$ равносторонний. Тогда $$KD=AD=1\text{ см}.$$
Теперь рассмотрим треугольник $$BKD.$$ Здесь $$KB=KD=1\text{ см},$$ значит $$\triangle BKD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle KBD=\angle BDK.$$
Угол при вершине $$K$$ равен
$$\angle BKD=180^\circ-\angle AKD=180^\circ-60^\circ=120^\circ.$$
Тогда
$$\angle KBD+\angle BDK+\angle BKD=180^\circ$$
$$\angle KBD+\angle KBD+120^\circ=180^\circ$$
$$2\angle KBD=60^\circ$$
$$\angle KBD=30^\circ.$$
Так как точки $$A, K, B$$ лежат на одной прямой, то
$$\angle ABD=\angle ABK-\angle KBD=180^\circ-30^\circ=150^\circ,$$
но удобнее сразу найти угол при вершине $$B$$ в треугольнике $$BDC$$:
$$\angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ.$$
В треугольнике $$BDC$$ угол при вершине $$D$$ равен
$$\angle BDC=180^\circ-\angle BDK-\angle KDB.$$
Так как $$\angle BDK=\angle KBD=30^\circ,$$ получаем
$$\angle BDC=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ.$$
Тогда третий угол треугольника $$BDC$$:
$$\angle DCB=180^\circ-\angle BDC-\angle DBC =180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ.$$
Ответ
$$\angle BDC=90^\circ,\quad \angle DCB=50^\circ,\quad \angle DBC=40^\circ.$$
