Упр.419 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В треугольнике ABC АВ = 2 см, угол A = 60°, угол B = 70°. На стороне АС отметили точку D так, что AD = 1 см. Найдите углы треутольника BDC.

Подробный ответ

Обозначим точку K на стороне $$AB$$ так, что $$AK=KB=\frac12 AB=1\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $$AKD.$$ Так как $$AK=AD=1\text{ см},$$ то $$\triangle AKD$$ равнобедренный, значит $$\angle AKD=\angle ADK.$$

Сумма углов треугольника $$AKD$$ равна $$180^\circ$$, поэтому

$$ \angle AKD+\angle ADK+\angle KAD=180^\circ $$
$$ \angle ADK+\angle ADK+60^\circ=180^\circ $$
$$ 2\angle ADK=120^\circ $$
$$ \angle ADK=60^\circ $$

Следовательно, $$\angle AKD=60^\circ,$$ и треугольник $$AKD$$ равносторонний. Тогда $$KD=AD=1\text{ см}.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BKD.$$ Здесь $$KB=KD=1\text{ см},$$ значит $$\triangle BKD$$ равнобедренный, поэтому $$\angle KBD=\angle BDK.$$

Угол при вершине $$K$$ равен

$$ \angle BKD=180^\circ-\angle AKD=180^\circ-60^\circ=120^\circ. $$

Тогда

$$ \angle KBD+\angle BDK+\angle BKD=180^\circ $$
$$ \angle KBD+\angle KBD+120^\circ=180^\circ $$
$$ 2\angle KBD=60^\circ $$
$$ \angle KBD=30^\circ. $$

Так как точки $$A, K, B$$ лежат на одной прямой, то

$$ \angle ABD=\angle ABK-\angle KBD=180^\circ-30^\circ=150^\circ, $$

но удобнее сразу найти угол при вершине $$B$$ в треугольнике $$BDC$$:

$$ \angle DBC=\angle ABC-\angle ABD=70^\circ-30^\circ=40^\circ. $$

В треугольнике $$BDC$$ угол при вершине $$D$$ равен

$$ \angle BDC=180^\circ-\angle BDK-\angle KDB. $$

Так как $$\angle BDK=\angle KBD=30^\circ,$$ получаем

$$ \angle BDC=180^\circ-60^\circ-30^\circ=90^\circ. $$

Тогда третий угол треугольника $$BDC$$:

$$ \angle DCB=180^\circ-\angle BDC-\angle DBC =180^\circ-90^\circ-40^\circ=50^\circ. $$