Упр.418 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: На боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника ABC отметили соответственно точки Е и F так, что АС = AF = EF = BE. Найдите углы треугольника ABC.

Обозначим $$\angle BAC=\angle BCA=x$$, так как $$\triangle ABC$$ равнобедренный.

Рассмотрим треугольник $$ACF$$. По условию $$AC=AF$$, значит он равнобедренный, поэтому

$$\angle AFC=\angle FCA=x.$$

Тогда из суммы углов треугольника $$ACF$$ получаем:

$$\angle FAC+\angle FCA+\angle AFC=180^\circ,$$

$$\angle FAC+x+x=180^\circ,$$

$$\angle FAC=180^\circ-2x.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$AEF$$. По условию $$AF=EF$$, значит он равнобедренный, и

$$\angle EAF=\angle AEF.$$

Угол $$\angle EAF$$ состоит из углов $$\angle BAC$$ и $$\angle CAF$$, поэтому

$$\angle EAF=\angle BAC-\angle FAC=x-(180^\circ-2x)=3x-180^\circ.$$

Следовательно,

$$\angle AEF=3x-180^\circ.$$

Из суммы углов треугольника $$AEF$$:

$$\angle EAF+\angle AEF+\angle EFA=180^\circ,$$

$$3x-180^\circ+3x-180^\circ+\angle EFA=180^\circ,$$

$$\angle EFA=540^\circ-6x.$$

Рассмотрим треугольник $$EBF$$. Так как $$BE=EF$$, он равнобедренный, значит

$$\angle EFB=\angle EBF.$$

Угол $$\angle EFB$$ равен разности углов $$\angle EFA$$ и $$\angle AFC$$:

$$\angle EFB=180^\circ-\angle EFA-\angle AFC,$$

$$\angle EFB=180^\circ-(540^\circ-6x)-x=5x-360^\circ.$$

Значит,

$$\angle EBF=5x-360^\circ.$$

Теперь в треугольнике $$ABC$$:

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$x+(5x-360^\circ)+x=180^\circ,$$

$$7x=540^\circ,$$

$$x=\frac{540^\circ}{7}.$$

Следовательно,

$$\angle A=\angle C=\frac{540^\circ}{7},$$

$$\angle B=180^\circ-2\cdot \frac{540^\circ}{7}=\frac{180^\circ}{7}.$$

Ответ

$$\angle A=\frac{540^\circ}{7},\quad \angle B=\frac{180^\circ}{7},\quad \angle C=\frac{540^\circ}{7}.$$