Упр.417 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Отрезок AM — медиана треугольника ABC, угол CAM > угол BAM. Докажите, что АВ > АС.

Подробный ответ

1) На прямой $$AM$$ отметим точку $$D$$ так, что $$MD=AM$$.

2) Рассмотрим треугольники $$BMD$$ и $$CMA$$.

Углы $$\angle BMD$$ и $$\angle CMA$$ — вертикальные, значит, они равны.

Кроме того, $$BM=MC$$, так как $$AM$$ — медиана треугольника $$ABC$$ и точка $$M$$ — середина стороны $$BC$$.

Также по построению $$MD=AM$$.

Следовательно, $$\triangle BMD \cong \triangle CMA$$ по двум сторонам и углу между ними. Тогда $$BD=AC$$ и $$\angle BDM=\angle CAM$$.

3) Так как по условию $$\angle CAM>\angle BAM$$, то из равенства $$\angle BDM=\angle CAM$$ получаем:

$$\angle BDM>\angle BAM.$$

Рассмотрим треугольник $$ABD$$. В нём против большего угла лежит большая сторона, значит,

$$AB>BD.$$

Но $$BD=AC$$, следовательно,