Упр.416 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: В треугольнике ABC угол А = а, биссектрисы внешних углов при вершинах В и С пересекаются в точке О. Найдите угол угол BOC.

В треугольнике $$ABC$$ сумма углов равна $$180^\circ$$, значит

$$\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

$$a+\angle B+\angle C=180^\circ,$$

откуда

$$\angle B+\angle C=180^\circ-a.$$

Угол $$\angle ECB$$ — внешний при вершине $$C$$, поэтому

$$\angle ECB=\angle A+\angle B=a+\angle B.$$

Аналогично, угол $$\angle DBC$$ — внешний при вершине $$B$$, значит

$$\angle DBC=\angle A+\angle C=a+\angle C.$$

Так как $$CO$$ и $$BO$$ — биссектрисы внешних углов, то

$$\angle OCB=\frac{1}{2}\angle ECB,\qquad \angle OBC=\frac{1}{2}\angle DBC.$$

В треугольнике $$BOC$$:

$$\angle OCB+\angle COB+\angle OBC=180^\circ.$$

Подставим выражения для половин внешних углов:

$$\frac{1}{2}\angle ECB+\angle BOC+\frac{1}{2}\angle DBC=180^\circ,$$

$$\frac{1}{2}(a+\angle B)+\angle BOC+\frac{1}{2}(a+\angle C)=180^\circ.$$

Умножим на $$2$$:

$$a+\angle B+2\angle BOC+a+\angle C=360^\circ.$$

С учётом $$\angle B+\angle C=180^\circ-a$$ получаем

$$2a+180^\circ-a+2\angle BOC=360^\circ,$$

$$a+2\angle BOC=180^\circ,$$

$$2\angle BOC=180^\circ-a,$$

$$\angle BOC=90^\circ-\frac{a}{2}.$$

Ответ

$$90^\circ-\frac{a}{2}$$