Упр.413 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Три точки А, В и С таковы, что выполняется равенство АВ = АС + СВ. Докажите, что точка С является внутренней точкой отрезка АВ.

Подробный ответ

Предположим, что точка $$C$$ не лежит на прямой $$AB$$. Тогда точки $$A$$, $$B$$ и $$C$$ неколлинеарны, значит, $$ABC$$ — треугольник. Для треугольника выполняется неравенство:

$$AC+CB>AB.$$

Но по условию дано:

$$AB=AC+CB.$$

Получаем противоречие. Значит, точка $$C$$ лежит на прямой $$AB$$.

Теперь рассмотрим расположение точки $$C$$ на этой прямой. Если бы $$C$$ лежала вне отрезка $$AB$$, то одна из длин $$AC$$ или $$CB$$ была бы равна сумме другой и $$AB$$, и тогда равенство $$AB=AC+CB$$ не выполнялось бы. Следовательно, точка $$C$$ находится между точками $$A$$ и $$B$$, то есть является внутренней точкой отрезка $$AB$$.